Le calcul de la date de Pâques

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Comprendre le calcul de la date de Pâques

Le dimanche de Pâques est la célébration de la résurrection de Jésus-Christ, un événement majeur au coeur du christianisme et donnant ainsi à Pâques la principale place dans le calendrier liturgique. La date de Pâques, mobile dans notre calendrier actuel, a été fixée, après trois siècles de controverses, par le concile de Nicée en 325. La règle, toujours en usage, est la suivante  :

« Pâques est le dimanche qui suit le 14e jour de la Lune [pleine Lune] qui atteint cet âge au 21 mars [équinoxe] ou immédiatement après ».

D’après cette règle, Pâques peut donc occuper, selon les années, trente-cinq positions dans le calendrier, du 22 mars au 25 avril inclus. Les calculs réguliers de comput ecclésiastique font jouer les notions complexes de lettres dominicales, de cycle de Méton (établi vers 432 av. J.-C.) et de nombres d’or (« Lunes juliennes » calculées par Denys le Petit au VIe siècle), ou, pour le comput grégorien, d’épactes rectifiées (à partir de 1582).

Le comput ecclésiastique [vient du latin computus, computare = calculer] est la méthode de détermination de la date de Pâques au moyen d´un calendrier lunaire perpétuel. Trois concepts de base sont sous-jacents au comput ecclésiastique : la Lettre dominicale, le Nombre d’or et l’Épacte. Le comput julien (utilisé jusqu’en 1582) se base sur deux de ces concepts : la lettre dominicale et le nombre d´or. Le comput grégorien (en usage depuis 1583), qui a introduit le 3e concept d’épacte, utilise deux éléments : la lettre dominicale et l´épacte. Plus généralement, le comput ecclésiastique [computus paschalis en latin] se définit comme l’ensemble des calculs permettant de déterminer chaque année les dates des fêtes religieuses. Ces calculs comporte les lettres dominicales, le nombre d’or, l’épacte, le cycle solaire et l’indiction romaine.

Lettre Dominicale

À chaque jour de la semaine, le comput ecclésiastique associe une lettre dominicale ainsi qu’un chiffre dominical. On fait correspondre successivement chacune les lettres A, B, C, D, E, F, G à chacun des jours de l’année, en commençant par le 1er janvier avec A, et en répétant le cycle tous les sept jours. Si l´année est normale (365 jours), l’opération s’effectue en une fois, et se termine avec A pour le 31 décembre; (365 = 52 x 7 + 1 = 364 +1). La lettre dominicale est celle relative au dimanche.

Nombre d’or

Le nombre d´or est essentiellement utilisé dans le comput julien pour la date de Pâques et il est remplacé par l´épacte dans le comput grégorien. Le nombre d´or (de valeur 1 à 19) est le rang d´une année dans le cycle de 19 ans ou cycle de Méton. En effet, Méton d’Athènes (470-400 av. J.-C.), astronome grec, a noté, vers l’an 432 av. J.-C., que l’addition de 7 mois au cours du cycle de 19 ans garde le calendrier julien presque exactement au rythme des saisons. Ce qui équivaut à fixer la longueur de l’année moyenne à (12 + 7/19) mois; soit (12 + 7/19) x 29,530587 = 365,2467 jours.

En d’autres termes, cette découverte signifiait que la durée de 235 lunaisons était quasiment égale à celle de 19 années solaires, ou encore que l’âge de la lune tombent aux mêmes dates à tous les 19 ans. Considérant ce rapport entre les phases de la lune et les jours de l’année qui se répète tous les 19 ans, il est naturel d’associer à chaque année un nombre entre 1 et 19. C’est le nombre d’or.

La découverte de Méton fut si importante pour son temps que le cycle de Méton fut gravé en lettres d’or sur un temple athénien. Ce cycle lunaire de 19 ans ou cycle métonique était la base du calendrier grec jusqu’à l’introduction du calendrier julien en l’an 46 av. J.-C. Le père du calendrier lunaire julien, Eusèbe, évêque de Césarée, proposa au concile l’adoption d’un calendrier basé sur le cycle de Méton. En réalité, 19 années juliennes [6940 jours] surpassent d’environ 1h 28mn la durée des 235 lunaisons qui composent le cycle de Méton.

Dans le calendrier julien, le Nombre d’or est suffisant au calcul de la date de pleine lune pascale. Dans le calendrier grégorien le calcul est compliqué par sa définition des années bissextiles. Ces années bissextiles altèrent le cycle métonique simple en changeant le nombre de jours dans les périodes différentes de 19 ans. Ce qui exige une méthode tabulaire utilisant l’Épacte au lieu du nombre d’or.

Cycle solaire

Le cycle solaire (1 à 28) est le rang de l´année dans un cycle de 28 ans, temps requis pour le retour des jours de la semaine aux mêmes dates dans le calendrier julien. En pratique, le cycle solaire est intimement lié aux lettres dominicales.

Indiction romaine

L’indiction romaine (1 à 15) est le rang de l’année dans un cycle de 15 ans; cet élément n’est pas utilisé pour le calcul de la date de Pâques. À l’origine, l’indiction était une période introduite à Rome par les Empereurs et qui désignait un impôt extraordinaire prélevé tous les quinze ans. Le comput ecclésiastique de base a été élaboré par Denys le Petit en l’an 525 ap. J.-C. Par la suite, des tables de calcul améliorées ont été proposées par Dionyisius Exiguus (532 ap. J.-C.), et par Aloisius Lilius (an 1576). Les tables de Lilius ont été ensuite ajustées par Christopher Clavius. Depuis 1583, ce sont ces tables modifiées de Clavius qu’utilise le comput ecclésiastique. Tous les algorithmes de calcul de la date de Pâques sont basés sur ces dernières tables.

Dans le calendrier julien, la séquence des dates de Pâques se répète à tous les 532 ans. Le nombre 532 = 19×28 est le produit des nombres suivants : 19 (le cycle Métonique ou le cycle du nombre d’or) 28 (le cycle solaire).

Dans le calendrier grégorien, le cycle pascal est beaucoup plus long car la même date de Pâques revient périodiquement après un intervalle de 5,700,000 ans. Le calcul du cycle n’est pas aussi simple qu’avec le calendrier julien; le nombre 5,700,000 = 19x400x25x30 s’avère être le produit des nombres suivants : 19 (le cycle Métonique ou le cycle du nombre d’or); 400 (l’équivalent grégorien du cycle solaire); 25 (calcul de l’Épacte); 30 (le nombre des différentes valeurs de l’Épacte).

Il faudra attendre 1800 pour que Carl Gauss établisse des formules qui permettent d’obtenir aisément la date de Pâques dans les calendriers julien et grégorien.

Calcul de la date de Pâques selon l’algorithme de Carl Friedrich Gauss

Ltelechargementa fête chrétienne de Pâques est célébrée le premier dimanche après la pleine lune qui arrive le jour de l’équinoxe du printemps ou les jours suivants. Au plus tôt, elle arrive le 22 mars et au plus tard, le 25 avril. Elle s’étale sur une période de 35 jours. Le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss (1777-1855) a imaginé une formule permettant de trouver la date à laquelle est célébrée la fête de Pâques pour une année donnée. Voici comment la calculer pour la période de 1900 à 2099 dans le calendrier grégorien :

Soit m, l’année. On calcule successivement :
1. le reste de m/19 : c’est la valeur de a.
2. le reste de m/4 : c’est la valeur de b.
3. le reste de m/7 : c’est la valeur de c.
4. le reste de (19a + 24)/30 : c’est la valeur de d.
5. le reste de(2b + 4c + 6d + 5)/7 : c’est la valeur de e.

La date de Pâques est le (22 + d + e) mars ou le (d + e – 9) avril.

Pour trouver la date de Pâques dans le calendrier julien, on remplace 24 par 15 à l’étape 4, et 5 par 6 à l’étape 5.

Voici deux exemples dans le calendrier grégorien : 

En 1996, on trouve : a = 1, b = 0,  c = 1,  d = 13,  e = 3.
Pâques eut lieu le (13 + 3 – 9) = 7 avril.

En 2020, on trouve : a = 6,  b = 0,  c = 4, d = 18,  e = 3.
Pâques aura lieu le (18 + 3 – 9) = 12 avril.

Marcel Simard a découvert que la formule de Gauss amène deux erreurs entre 1900 et 2078. En 1954, Pâques eut lieu le 18 avril alors que la formule donne le 25 avril. En 1981, cette fête eut lieu le 19 avril alors que la formule prévoit le 26 avril. Dans certains cas quand même rares, la date de la pleine lune ecclésiastique diffère légèrement de la pleine lune astronomique.

T. H. O’Beirne, en s’inspirant des travaux de Gauss, a donné cette formule qui s’applique aussi aux années 1900 à 2099.

Soit m l’année, on fait les calculs suivants :

1. On soustrait 1900 de m : c’est la valeur de n.
2. On divise n par 19 : le reste est la valeur de a.
3. On divise (7a + 1) par 19 : la partie entière du quotient est b
4. On divise (11ab + 4) par 29 : le reste est c.
5. On divise n par 4 : la partie entière du quotient est d.
6. On divise (nc + d + 31) par 7 : le reste est e.

La date de Pâques est le (25 – ce) avril si le résultat est positif. S’il est négatif, le mois est mars. Le quantième est la somme de 31 et du résultat. Par exemple, si le résultat est -7, le quantième est 31 + -7 = 24.

Voici deux exemples :
En 1954, on trouve : n = 54, a = 16, b = 5, c = 1, d = 13, e = 6. Pâques eut lieu le (25 – 1 – 6) = 18 avril.

En 1989, on trouve : n = 89, a = 13, b = 4, c = 27, d = 22, e = 3. Pâques eut lieu le (25 – 27 – 3) = -5. C’est donc le 26 mars.

Pour en savoir plus…

Tester les formules (avec Excel)                                            Calculer la date de Pâques

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